真题拆解
科目：高等数学
题型：导数、极值与定积分综合
题目来源：自拟试卷A，用于演示历年题型拆解
整理人：林悦
练习日期：0000-00-00
一、题目与训练目标
本页采用自拟题演示综合题的拆解结构，题目为：设，求其单调区间、局部极值及在区间上的最大值和最小值，再计算从－1到1的定积分。训练重点为区分局部极值与闭区间最值，并将导数符号、端点比较和积分性质连接起来。建议限时12分钟，完成后对照每一步的依据复盘。
二、条件提取与知识对应
三、解题过程与结论
首先计算，驻点为和。导数在与时为正，在时为负，因此函数在和上递增，在上递减。
在处，导数由正变负，函数取得局部极大值；在处，导数由负变正，取得局部极小值。这里的极值描述驻点附近的函数变化，尚需比较端点才能回答闭区间最值。
在上，候选点为－2、－1、1和2，对应函数值依次为－2、2、－2和2。因此最大值为2，在和处取得；最小值为－2，在和处取得。函数为奇函数，故从－1到1的定积分为0，也可用原函数代入上下限验证。
四、错误原因与修正
- 初次作答只比较了两个驻点，遗漏端点，虽得到相同最值数值，却没有完整列出取得最值的位置。
- 单调区间曾把两个递增区间直接连接书写，容易掩盖中间递减区间；修订后分别列出并附符号依据。
- 将积分为0误解为曲线与横轴围成面积为0，忽略了正负部分抵消；本例在上的几何面积实际为5/2。
五、变式训练与验证
变式一将闭区间改为，候选点为0、1、2，函数值为0、－2、2，可验证最小值仍为－2，最大值为2。变式二将积分区间改为，代入原函数得到－5/4，说明积分可为负。两道变式分别检验候选点筛选和积分意义，完成后需要写出依据而不仅记录答案。
六、复习安排与完成记录
本次首次完成用时15分钟，主要超时发生在端点遗漏后的返工。明晚重新独立作答，要求先列候选点再计算，目标控制在12分钟；三天后完成一个不同多项式的同类题，检查是否仍有相同遗漏。林悦将错误归入“解题步骤不完整”，待两次独立作答均完整后标记为已掌握，并保留变式检验结果。